Matematicienii antici calculau rădăcina pătrată fără calculator – cum reuşeau să fie atât de precişi într-o lume fără tehnologie
Într-o epocă în care calculatoarele electronice nici măcar nu erau un vis îndepărtat, matematicienii antici reușeau să aproximeze rădăcini pătrate cu o precizie uimitoare, folosind doar mintea, papirusul sau tăblițele de argilă. Cum era posibil acest lucru? Prin metode ingenioase, bazate pe observații simple și iterații repetitive, care demonstrează geniul uman în fața limitărilor tehnologice. Aceste tehnici nu doar că rezolvau probleme practice – de la construcții de temple la măsurători astronomice – dar au pus bazele algoritmilor moderni pe care computerele le folosesc și astăzi.
Metoda babiloniană: O bijuterie matematică veche de peste 3.500 de ani
Una dintre cele mai elegante și eficiente metode vine din Mesopotamia antică, de la babilonieni, în jurul anilor 1800–1600 î.Hr. Pe o tăbliță de argilă celebră, cunoscută sub numele YBC 7289, ei au calculat rădăcina pătrată a lui 2 cu o precizie de șase zecimale: aproximativ 1,414213.
Metoda lor, numită astăzi „metoda babiloniană” sau „metoda lui Heron”, este o procedură iterativă simplă și puternică. Ideea de bază este următoarea: dacă ai o estimare inițială pentru rădăcina pătrată a unui număr N (de exemplu, o valoare apropiată de √N), poți îmbunătăți această estimare luând media aritmetică dintre estimarea ta și rezultatul împărțirii lui N la estimarea respectivă.
Formal, dacă x este o aproximare a lui √N, atunci o aproximare mai bună este:
x_{nou} = (x + N / x) / 2
Această operație se repetă până când diferența dintre două iterații succesive devine neglijabilă.
Să luăm un exemplu concret: calculăm √2, pornind de la o estimare inițială x = 1.
- Prima iterație: (1 + 2/1)/2 = (1 + 2)/2 = 1,5
- A doua: (1,5 + 2/1,5)/2 = (1,5 + 1,333…)/2 ≈ 1,4167
- A treia: (1,4167 + 2/1,4167)/2 ≈ 1,4142157
După doar câteva pași, obținem o precizie excelentă. Convergența este quadratică, adică numărul de zecimale corecte se dublează aproximativ la fiecare iterație – o eficiență remarcabilă pentru o metodă antică!
Heron din Alexandria și contribuțiile grecești
În secolul I d.Hr., matematicianul și inginerul grec Heron din Alexandria a descris explicit această metodă în lucrarea sa Metrica, atribuindu-i-o uneori babilonienilor, dar popularizând-o în lumea elenistică.
Grecii antici abordau rădăcinile pătrate și geometric. De exemplu, prin teorema lui Pitagora sau construcții cu rigla și compasul, ei puteau reprezenta rădăcini pătrate ca lungimi de segmente. O construcție frumoasă este spirala lui Theodorus, care ilustrează rădăcini pătrate succesive prin triunghiuri dreptunghice.
Ecouri în alte culturi antice
Metode similare apar și în India antică (în Sulba Sutras, secolele VIII–V î.Hr.) sau în China, unde se foloseau aproximări prin „exces și deficiență”. În manuscrisul Bakhshali, de exemplu, găsim algoritmi sofisticați care echivalează cu două iterații ale metodei newtoniene.
O moștenire vie
Ce este fascinant este că metoda babiloniană – redescoperită independent de Isaac Newton sub forma metodei Newton-Raphson – este încă folosită în algoritmii moderni de calcul numeric. Chiar și procesoarele actuale o aplică pentru operații rapide cu virgulă mobilă.
Matematicienii antici ne demonstrează că ingeniozitatea umană poate depăși orice limită tehnologică. Prin observație atentă și raționament logic, ei au transformat o problemă aparent insurmontabilă într-un proces simplu, repetitiv și precis. Astăzi, când apăsăm butonul √ pe calculator, ar fi bine să ne amintim de acei gânditori din vechime care, fără niciun ajutor electronic, au atins excelența matematică.
Citește și